Análise Estatística

Matéria de Análise Estatística

Nota: Os resumos foram feitos pelas Explicações Henrique Cabeleira.

TEMA 1
TEMA 1
TEMA 1
n n n!
P(A | B) = P(A ∩ B)
P(A | B) = P(A ∩ B)

http://www.hc-explicacoes.com

Índice:

1. Resumos curtos com resolução de exercicio das actividades formativas

2. Resumos completos

3. E-Folios

4. P-Folios / Exames

5. Exercícios Extra / Actividades Formativas

6. Links para sites com mais informação

1. Resumos curtos com actividades formativas resolvidas

Probabilidade de acontecer A, ou B, ou A e B em simultâneo:

P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Probabilidade de acontecer A ou B ou C, ou todos em simultâneo:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Acontecimentos Independentes

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
_ _ _ _
P( A ∩ B) = P(A) x P(B)

Se P(A ∩ B) =//= (diferente) P(A) + P(B) então não são independentes.

Probabilidade complementar
_ _
Se P(A ∩ B) = 1 - P(A U B)

Acontecimentos Incompatíveis

P(A ∩ B) = 0

Diferença de acontecimentos

P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)

Combinação

C = ( = _______
s s s! . (n-s)!

Probabilidade Condicionada

________
P(B)

ou

P(A ∩ B) = P(A | B) x P(B)

Teorema da Probabilidade Total

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + (...) + P(A ∩ Bn)

Teorema de Bayes

_______
P(B)

<=> P(A | B) = P(B ∩ A)
_______
P(B)

<=> P(A | B) = P(B | A) x P(A)
_____________
P(B)

5. Exercicios Extra / Actividades Formativas

Actividade Formativa 1

Exercicio 2

a) Diagrama de Wenn

P(W) = 40 / 100 = 0,4

P(C) = 30 / 100 = 0,3

P (W ∩ C) = 0,2

b) P(W U C) = P(W) + P(C) - P(W ∩ C) = 0,4 + 0,4 - 0,2 = 0,5

c) P(W U C) = P(W ∩ C) = 0,5 - 0,2 = 0,3

Exercicio 3 - João e Ana vivos ou não daqui a 20 anos

Vivo Morto

P(A) João 0,9 0,1 = 1

P(B) Ana 0,8 9,2 = 1

a) P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0,9 * 0,8 = 0,72

b) P(Complementar de A ∩ Complementar de B) = P(Complementar de A) * P(Complementar de B) = 0,1 * 0,2 = 0,02

c) P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,9 + 0,8 - 0,72 = 0,98

Exercicio 5 da Actividade Formativa 1

Ano 1 = 10 Alunos

Ano 2 = 10 Alunos

Ano 3 = 10 Alunos

P 1º Ano = 10 Combinações de 4 * 10 Combinações de 0 * 10 Combinações de 0

P 2º Ano = 10 Combinações de 0 * 10 Combinações de 4 * 10 Combinações de 0

P 3º Ano = 10 Combinações de 0 * 10 Combinações de 0 * 10 Combinações de 4

P (Alunos do mesmo ano) = P 1º + P 2º + P 3º = 10 C 4 + 10 C 4 + 10 C 4 = 3 * 10 C 4

Casos Totais = 30 C 4

P = 3 * 10 C 4 / 30 C 4

Exercicio 6 da Actividade Formativa 1 (Hipermercado)

a) P (F) ∩ P (R) = 0,12

b) Probabilidade Condicionada

P (F | N) = P (F ∩ N) / P (N) = 0,19 / 0,08 + 0,19 = 0,70

c) Se P (F ∩ N) = P (F) * P (N) então são independentes

P (F) = 0,12 + 0,48 + 0,19 = 0,79

P (N) = 0,08 + 0,19 = 0,27

P (F) * P (N) = 0,21 =//= (diferente de) 0,19 -> não são independentes

d) P (R | O) / P (O) = 0,07 / 0,07 + 0,06 + 0,08 = 0,333

e) 0,79

f) 0,27

Exercicio 5 da Actividade Formativa 1

b) 10 C 4 * 20 C 3 / 30 C 4

c) 0 Alunos do 1º Ano

10 C 0 * 20 C 4 (Casos Favoráveis)

30 C 4 (Casos possíveis)

Nota: Temos sempre de dividir o numero de casos favoráveis pelo número de casos possíveis ou totais)

1 Aluno do 1ª Ano

10 C 1 * 20 C 3 / 30 C 4

2 Alunos do 1º Ano

10 C 2 * 20 C 2 / 30 C 4

Vamos agora somar o resultado entre os 3 casos possíveis

Total = 4845 / 27405 * 11900 / 37405 * 8550 / 27405 = 0,904

d) 10 C 4 * 10 C 1 * 10 C 2 / 30 C 4

Exercicio 7 - Trabalhadores e Formação

30 % Empresas tem mais de 50 Trabalhadores -> Fazem formação

10% das Empresas têm mais de 50 Trabalhadores

20% das Empresas fazem formação tanto com mais do que 50 trabalhadores como com menos de 50 trabalhadores

Nota: F = P (Formação), T ( Trabalhadores) -> do que 50

P (F) = 0,2

P (T) = 0,1

P (F | T) = 0,3

a) P (Complementar de T) = 0,9

b P (F | Complementar de T ) P ( F ∩ Complementar de T) / P (Complementar de T) = 0,17 / 0,19

(0,20) (0,03) (0,17)

P (F) = P (F ∩ T) + P (F ∩ Complementar de T)

<=> P (F | T) = P (F ∩ T) / P (T) <=>

<=> P (F ∩T) = P (F | T) * P (T) <=>

<=> 0,3 * 0,1 * 0,05

Exercicio 9

60% passam no teste (todos fizeram o teste)

Dos que passaram o teste, 80% concluem o estágio

a) Candidatos que reprovaram e que fizeram o estágio = 0,5 ou 50%

P (T) = 0,6

P (E | T) = 0,8

P (E | Complementar de T) = 0,5

P (Complementar de T) = 0,5

Nota: A probabilidade "sabendo que" (a que aparece em primeiro lugar), é a probabilidade B em P (A | B)

a) P (E) = P (E ∩ T) + P (E ∩ Complementar de T) = [ P (E | T) * P (T) ] + [ P (E | Complementar de T) * P (Complementar de T) ] = 0,8 * 0,6 + 0,5 * 0,4 = 0,48 + 0,2 = 0,68

b) P (Complementar de T | E) = P (Complementar de T | E) / P (E) <=>

<=> P (E ∩ Complementar de T) / P (E)

<=> P (E ∩ Complementar dde T) * P (Complementar de T) / P (E)

= 0,20 * 0,40 / 0,68 = 0,08 / 0,68 = 0,294

TEMA 2

Integração: Processo inverso da derivação

Exercicios EXTRA de Integração (para compreender melhor a matéria antes de resolvervos os exercicios da actividade formativa)

Resolver:

a) 6x + 2 dX = 3X ao quadrado + 2X + C

b) 6 dX = 6X + C

c) 6 dx = 6x + C

d) 6x elevado a 5 + 2x elevado a 4 + 1/2 de x elevado a 3 + x ao quadrado + 2x + 6 dx

= x elevado a 6 + (2/5)x elevado a 5 + (1/2/4/1)x elevado a 4 + 1/3x elevado a 3 + x elevado a 2 + 6x + C

Integração definida

|3 |3

| 6x + 2 = 3x elevado a 2 + 2x |

|1 |1

= [3 (3) ao quadrado + 2(3) ] - [3(1) ao quadrado + 2(1) ]

= [ (3 * 9) + (2 * 3) ] - [3 + 2] = (27 + 6) - (5) = 33 - 5 = 28

| 3x ao quadrado + 6x + 9 dx

= x elevado a 3 + 3x elevado a 2 + 9x | = F (5) - F (2)

= [5 elevado a 3 + 3 (5) elevado a 2 + 9 (5) ] - [ 2 elevado a 3 + 3 (2) elevado a 2 + 9 (2) ]

= [ 125 + 75 + 45 ] - [ 8 + 12 + 18 ]

= 245 - 38

= 207

Mais outro exercicio

| 2x elevado a 2 + 4x - 1 dx

= (2/3)x elevado a 3 + 2x elevado a 2 - x | F(4) - F(0)

= 2/3 (4) elevado a 3 + 2(4) elevado a 2 - 4 = 2/3(64) + 2(16) - 4

= 2/3 (64) + 32 -4

Nota: Variancia = (Desvio Padrão) ao quadrado

Valor Esperado

Exemplo:

| 2x + 6 se 0 <= X < 2
<
| 4x + 9 se 2 <= x < 4

E [X] =

NOTA: Daqui para a frente optei por scanizar o caderno pois não consegui escrever a matéria toda em tempo útil. Foram resolvidos todos os exercicios mais importantes para o exame. Clique na imagem para ver o tamanho grande.